Mutlak Değer

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer her zaman sıfır ya da pozitiftir; konunun tamamı bu tek cümlenin sonuçlarından ibarettir.

Tanım

Mutlak değer, içerideki ifadenin işaretine göre iki durumda incelenir. Pozitif ve sıfır olduğunda değer aynen kalır, negatif olduğunda işareti değişerek pozitife dönüşür.

• a sıfırdan büyük veya eşitse mutlak değer a = a
• a sıfırdan küçükse mutlak değer a = -a
• Mutlak değer her zaman sıfırdan küçük olmayan bir sayıdır.
• Mutlak değer a = mutlak değer (-a)

Temel Özellikler

Çarpma ve bölme mutlak değerle uyumludur, yani terimlere dağıtılabilir. Toplama ve çıkarmada ise eşitlik değil, bir eşitsizlik geçerlidir.

• Mutlak değer (a.b) = mutlak değer a . mutlak değer b
• Mutlak değer (a/b) = mutlak değer a bölü mutlak değer b, b sıfırdan farklı olmak üzere.
• Mutlak değer (a + b), mutlak değer a + mutlak değer b toplamından büyük olamaz.
• Mutlak değer a'nın karesi, a'nın karesine eşittir.

Mutlak Değerli Denklemler

Mutlak değerli bir denklemde içerideki ifade iki farklı değer alabileceği için iki ayrı durum yazılır. Sağ taraf negatifse denklemin çözümü yoktur.

• Mutlak değer x = a ise x = a veya x = -a olur, burada a sıfırdan küçük olmamalıdır.
• Mutlak değer x = a denkleminde a negatifse çözüm kümesi boştur.
• Mutlak değer x = 0 ise tek çözüm x = 0'dır.
• İki mutlak değer eşitse içleri ya eşittir ya da birbirinin ters işaretlisidir.

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Küçüktür durumu sıfıra yakınlığı, büyüktür durumu ise uzaklığı ifade eder. Bu yüzden biri tek aralık, diğeri iki ayrı aralık verir.

• Mutlak değer x küçüktür a ise -a küçüktür x küçüktür a olur.
• Mutlak değer x büyüktür a ise x küçüktür -a veya x büyüktür a olur.
• Bu kurallarda a pozitif olmalıdır.